El Método de la Gran M es una técnica utilizada en el ámbito de la programación lineal para resolver problemas de optimización, es decir, para encontrar la mejor solución a un problema dado, sujeto a ciertas restricciones. A través de este método, es posible encontrar el valor óptimo de una función objetivo, sujeto a un conjunto de restricciones lineales.
En este artículo, vamos a resolver algunos ejercicios utilizando el Método de la Gran M, con el objetivo de comprender mejor su aplicación y funcionamiento. A lo largo de los ejercicios, se intercalarán explicaciones detalladas y pasos a seguir para resolver cada problema, con el fin de garantizar una comprensión completa del método.
Ejercicio 1
Supongamos que una empresa fabrica dos productos, A y B, utilizando una máquina X y una máquina Y. Para fabricar un producto A, la máquina X necesita 4 horas de trabajo, mientras que la máquina Y necesita 2 horas. Para el producto B, la máquina X necesita 3 horas y la máquina Y 3 horas. La empresa dispone de 40 horas de tiempo en la máquina X y 30 horas en la máquina Y. Si el beneficio por unidad de A es de $50 y por unidad de B es de $60, ¿cuántas unidades de A y B deben fabricarse para maximizar el beneficio?
Pasos a seguir:
1. Definir las variables de decisión:
Sea x la cantidad de unidades de A a fabricar, y la cantidad de unidades de B a fabricar.
2. Formular la función objetivo:
La función objetivo a maximizar es:
Z = 50x + 60y
3. Establecer las restricciones:
Las restricciones se pueden plantear de la siguiente manera:
4x + 3y ≤ 40 (máximo de horas en la máquina X)
2x + 3y ≤ 30 (máximo de horas en la máquina Y)
4. Introducir variables de holgura:
Se introducen las variables de holgura s1 y s2 para convertir las desigualdades en igualdades.
Es decir, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
4x + 3y + s1 = 40
2x + 3y + s2 = 30
5. Determinar la forma estándar:
Se reescriben las ecuaciones de modo que todas las restricciones sean igualdades.
Se obtiene el siguiente sistema:
4x + 3y + s1 = 40
2x + 3y + s2 = 30
6. Aplicar el Método de la Gran M:
Se introduce una variable artificial a cada restricción, para poder aplicar el método.
Se obtiene el siguiente sistema:
4x + 3y + s1 + A1 = 40
2x + 3y + s2 + A2 = 30
7. Resolver el sistema mediante el Método de la Gran M:
Al resolver el sistema, se obtiene que:
x = 6, y = 8
Z = 500
Por lo tanto, para maximizar el beneficio, la empresa debe fabricar 6 unidades de A y 8 unidades de B, obteniendo un beneficio total de $500.
Ejercicio 2
Ahora veremos un problema de programación lineal con restricciones de desigualdad. Supongamos que se tiene un almacén con una capacidad máxima de 1500 kg. Se dispone de tres tipos de productos, A, B y C, con ganancias por kg de $20, $10 y $15 respectivamente. Además, se sabe que cada kg de A requiere 3 horas de trabajo, cada kg de B requiere 2 horas y cada kg de C requiere 4 horas. ¿Cuántos kg de cada producto se deben almacenar para maximizar la ganancia?
Pasos a seguir:
1. Definir las variables de decisión:
Sea x la cantidad de kg de A a almacenar, y la cantidad de kg de B, y z la cantidad de kg de C.
2. Formular la función objetivo:
La función objetivo a maximizar es:
Z = 20x + 10y + 15z
3. Establecer las restricciones:
Las restricciones se pueden plantear de la siguiente manera:
3x + 2y + 4z ≤ 1500 (capacidad máxima del almacén)
4. Introducir variables de holgura:
Se introduce la variable de holgura s1 para convertir la desigualdad en igualdad.
Es decir, se obtiene la siguiente ecuación:
3x + 2y + 4z + s1 = 1500
5. Determinar la forma estándar:
Se reescribe la ecuación de modo que la restricción sea una igualdad.
Se obtiene la siguiente ecuación:
3x + 2y + 4z + s1 = 1500
6. Aplicar el Método de la Gran M:
Se introduce una variable artificial a la restricción, para poder aplicar el método.
Se obtiene la siguiente ecuación:
3x + 2y + 4z + s1 + A1 = 1500
7. Resolver el sistema mediante el Método de la Gran M:
Al resolver el sistema, se obtiene que:
x = 0, y = 0, z = 375
Z = 5625
Por lo tanto, para maximizar la ganancia, se deben almacenar 375 kg de producto C, obteniendo una ganancia total de $5625.
Ejercicio 3
Para finalizar, resolveremos un problema que involucra restricciones de igualdad. Supongamos que se debe minimizar la función Z = 3x + 5y, sujeta a las restricciones 2x + 4y = 16 y x + y = 5.
Pasos a seguir:
1. Definir las variables de decisión:
Sea x la primera variable y y la segunda.
2. Formular la función objetivo:
La función objetivo a minimizar es:
Z = 3x + 5y
3. Establecer las restricciones:
Las restricciones se pueden plantear de la siguiente manera:
2x + 4y = 16
x + y = 5
4. Introducir variables de holgura:
Como las restricciones son de igualdad, no es necesario introducir variables de holgura.
5. Determinar la forma estándar:
La ecuación se encuentra en forma estándar, ya que las restricciones son de igualdad.
6. Aplicar el Método de la Gran M:
Se pueden aplicar directamente los cálculos del Método de la Gran M.
7. Resolver el sistema mediante el Método de la Gran M:
Al resolver el sistema, se obtiene que:
x = 2, y = 3
Z = 21
Por lo tanto, para minimizar la función Z, se deben seleccionar los valores x = 2 e y = 3, obteniendo un valor mínimo de 21.
En conclusión, el Método de la Gran M es una poderosa herramienta para resolver problemas de programación lineal, permitiendo encontrar soluciones óptimas a problemas de optimización. A través de los ejercicios resueltos presentados en este artículo, se ha demostrado la eficacia y aplicabilidad de este método en diferentes contextos. Esperamos que esta introducción a la resolución de problemas utilizando el Método de la Gran M haya sido de utilidad para comprender su funcionamiento y aplicación en situaciones reales.
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