Ejercicios de Regresión Lineal Simple Resueltos Paso a Paso

La regresión lineal simple es un método estadístico que se utiliza para modelar la relación entre una variable dependiente (Y) y una variable independiente (X). En este artículo, resolveremos ejercicios de regresión lineal simple paso a paso para ayudarte a comprender este concepto de manera clara y concisa.

Conceptos Básicos

Antes de resolver los ejercicios, es importante repasar algunos conceptos básicos sobre la regresión lineal simple. En este sentido, la ecuación de regresión lineal simple se expresa de la siguiente manera:

Y = β0 + β1X + ε

Donde:
– Y representa la variable dependiente.
– X representa la variable independiente.
– β0 es la intersección de la línea de regresión con el eje Y.
– β1 es la pendiente de la línea de regresión.
– ε es el término de error, que representa la variabilidad no explicada por la relación lineal entre X e Y.

El objetivo de la regresión lineal simple es encontrar los valores de β0 y β1 que minimicen la suma de los cuadrados de los residuos (también conocido como el método de mínimos cuadrados).

Ejercicio 1

Supongamos que queremos analizar la relación entre la cantidad de horas de estudio (X) y la calificación obtenida en un examen (Y). A partir de un conjunto de datos, hemos obtenido los siguientes resultados:

X: 4, 7, 9, 12, 15
Y: 65, 75, 82, 88, 95

Paso 1: Calcular la media de X y Y

Primero, calculamos la media de X y Y utilizando las siguientes fórmulas:

X̄ = ΣX / n
Ȳ = ΣY / n

Donde:
– X̄ es la media de X.
– Ȳ es la media de Y.
– ΣX es la suma de todos los valores de X.
– ΣY es la suma de todos los valores de Y.
– n es el número de observaciones.

Aplicando las fórmulas, obtenemos:
X̄ = (4 + 7 + 9 + 12 + 15) / 5 = 47 / 5 = 9.4
Ȳ = (65 + 75 + 82 + 88 + 95) / 5 = 405 / 5 = 81

Por lo tanto, la media de X es 9.4 y la media de Y es 81.

Paso 2: Calcular la suma de los productos de X y Y, así como la suma de los cuadrados de X

A continuación, calculamos la suma de los productos de X y Y (ΣXY) y la suma de los cuadrados de X (ΣX^2) utilizando las siguientes fórmulas:

ΣXY = Σ(X * Y)
ΣX^2 = Σ(X^2)

Aplicando las fórmulas, obtenemos:
ΣXY = (4*65 + 7*75 + 9*82 + 12*88 + 15*95) = 260 + 525 + 738 + 1056 + 1425 = 4004
ΣX^2 = (4^2 + 7^2 + 9^2 + 12^2 + 15^2) = 16 + 49 + 81 + 144 + 225 = 515

Por lo tanto, la suma de los productos de X y Y es 4004 y la suma de los cuadrados de X es 515.

Paso 3: Calcular la pendiente (β1) y la intersección (β0) de la línea de regresión

Una vez que hemos calculado estas sumas, podemos utilizar las fórmulas de la pendiente y la intersección de la línea de regresión:

β1 = (ΣXY – n*X̄*Ȳ) / (ΣX^2 – n*X̄^2)
β0 = Ȳ – β1*X̄

Aplicando las fórmulas, obtenemos:
β1 = (4004 – 5*9.4*81) / (515 – 5*9.4^2) = (4004 – 3779) / (515 – 443.6) = 225 / 71.4 ≈ 3.15
β0 = 81 – 3.15*9.4 ≈ 51.409

Por lo tanto, la pendiente de la línea de regresión (β1) es aproximadamente 3.15 y la intersección (β0) es aproximadamente 51.409.

Paso 4: Crear la ecuación de regresión lineal simple

Finalmente, podemos crear la ecuación de regresión lineal simple utilizando los valores de β0 y β1 que hemos calculado:

Y = β0 + β1X
Y ≈ 51.409 + 3.15X

Por lo tanto, la ecuación de regresión lineal simple para este conjunto de datos es Y ≈ 51.409 + 3.15X.

Ejercicio 2

Ahora, consideremos otro conjunto de datos que representan la relación entre el precio de una casa (X) y su tamaño en pies cuadrados (Y). A partir de los datos recopilados, hemos obtenido los siguientes resultados:

X: 1500, 2000, 2500, 3000, 3500
Y: 180000, 220000, 250000, 280000, 310000

Paso 1: Calcular la media de X y Y

Siguiendo el mismo procedimiento que en el ejercicio anterior, calculamos la media de X y Y:

X̄ = (1500 + 2000 + 2500 + 3000 + 3500) / 5 = 12500 / 5 = 2500
Ȳ = (180000 + 220000 + 250000 + 280000 + 310000) / 5 = 1240000 / 5 = 248000

Por lo tanto, la media de X es 2500 y la media de Y es 248000.

Paso 2: Calcular la suma de los productos de X y Y, así como la suma de los cuadrados de X

Calculamos la suma de los productos de X y Y (ΣXY) y la suma de los cuadrados de X (ΣX^2):

ΣXY = (1500*180000 + 2000*220000 + 2500*250000 + 3000*280000 + 3500*310000) = 270000000 + 440000000 + 625000000 + 840000000 + 1085000000 = 3285000000
ΣX^2 = (1500^2 + 2000^2 + 2500^2 + 3000^2 + 3500^2) = 2250000 + 4000000 + 6250000 + 9000000 + 12250000 = 33750000

Por lo tanto, la suma de los productos de X y Y es 3285000000 y la suma de los cuadrados de X es 33750000.

Paso 3: Calcular la pendiente (β1) y la intersección (β0) de la línea de regresión

Utilizando las fórmulas de la pendiente y la intersección de la línea de regresión, calculamos:

β1 = (ΣXY – n*X̄*Ȳ) / (ΣX^2 – n*X̄^2)
β0 = Ȳ – β1*X̄

Aplicando las fórmulas, obtenemos:
β1 = (3285000000 – 5*2500*248000) / (33750000 – 5*2500^2) = (3285000000 – 3100000000) / (33750000 – 31250000) ≈ 3.5
β0 = 248000 – 3.5*2500 ≈ 16500

Por lo tanto, la pendiente de la línea de regresión (β1) es aproximadamente 3.5 y la intersección (β0) es aproximadamente 16500.

Paso 4: Crear la ecuación de regresión lineal simple

Finalmente, creamos la ecuación de regresión lineal simple utilizando los valores de β0 y β1 que hemos calculado:

Y = β0 + β1X
Y ≈ 16500 + 3.5X

Por lo tanto, la ecuación de regresión lineal simple para este conjunto de datos es Y ≈ 16500 + 3.5X.

Conclusiones

En este artículo hemos resuelto ejercicios de regresión lineal simple paso a paso, lo que nos ha permitido entender el procedimiento para calcular la ecuación de regresión lineal simple a partir de un conjunto de datos. Es importante recordar que la regresión lineal simple es una herramienta estadística útil para modelar la relación entre una variable dependiente y una variable independiente, y que su aplicación puede proporcionar información valiosa para la toma de decisiones en diversos contextos. Esperamos que este artículo te haya sido de utilidad y que hayas podido comprender la regresión lineal simple con mayor claridad.

Bibliografía:

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